极限

函数&预备知识

1. 参数方程
2. 极坐标方程
3. 二项式展开
4. 和差化积公式
5. …

数列极限

定义

$\xi - N$ （用于验证）

性质&四则运算

两大定理&$e$

1. 夹逼定理
2. 单调有界定理

函数极限

定义

1. $\xi - \delta​$

2. $\xi - X$

归结原理、左右极限

性质&四则运算

两大定理？

1. 夹逼定理（仍然成立）
2. 单调有界？（No Longer Exist）

两大重要极限

1. $\lim_{x \to 0}\frac{x}{sinx} = 1$
2. $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e​$

连续

定义

$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)​$

有限闭区间上的连续函数的性质

1. 有界性
2. 最大最小值定理
3. 零点存在定理
4. 介值定理 （常用于证明$F(\xi) = 0​$ )

o()、O()、等价替换

$o(x) + o(x^2) = o(x)$

$o()$代表”一类“量，因此”=“不是传统意义上的”等于“

导数

定义

$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = A = f’(x_0)$

切线

割线斜率的极限

$f’(x_0) > 0$ 的意义

在$x_0$右边的一小块邻域内，$f(x) > f(x_0)$

高阶导数

1. $\frac{ax + b}{cx + d}$

2. $x^nf(x)$

3. $arctan^{(100)}(0)$

   $arcsin^{(100)}(0)$

4. 泰勒

   $x^2sinx$求100阶导

其他函数

反函数

到底对谁求导

复合函数

参数方程

隐函数

微分

定义

一阶微分的形式不变性

微商

{% raw %} $\frac{{d}y}{{d}x}​$ {% endraw %}

高阶

{% raw %} $\frac{{d^2}y}{{d}x^2} = \frac{{d}{(\frac{{d}y}{{d}x}})}{{d}x}$ {% endraw %}

微分定理

中值定理

极值&凹凸性

1. 极值&费马定理
2. 罗尔定理
3. 拉格朗日中值定理
4. 柯西中值定理

主要用于证明$F’(\xi) = 0$

泰勒定理

展开

1. 展开点
2. 带入点

复合函数展开

主要用于证明$F’’(\xi)$ 、$F’’’(\xi)$

给出高阶导数值的点往往是展开点！

洛必达法则

洛就完了！

不定积分

第一积分换元法

凑微分法

调整$dx$

第二积分换元法

去根号

1. 三角换元
2. 整体换$t$

倒带换

分部积分

1. 直接计算
2. 构造循环
3. 形成递推

特殊函数

1. 有理函数 -> 裂项
2. 三角有理函数 -> 万能公式
3. 其他特殊 -> 换元

定积分

定义（黎曼和）

{% raw %} $\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{x \to 0^+} \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i​$ {% endraw %}

1. 分割
2. 取点
3. 求和
4. 求极限

对称

和式转化

变上限函数的导数

1. 普通
2. $\int_{}^{\phi(x)}​$
3. $\int_{}^{x} f(x - y) dy$ ->换元

微积分基本定理

不定积分

特殊类型

1. 奇偶函数 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(- x)]dx$
2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}​$ 、 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}​$ 、$\int_{0}^{\pi}​$ 换元
3. 其他

反常积分

1. 区间无限
2. 函数无界

应用

1. 数学
2. 物理